Question

18．已知关于x的方程$\frac{{x}^{2}+2}{x（lnx+k）+2k}$=1在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞]上有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（1，$\frac{9+2ln2}{10}$]．

Answer 1

分析 化简方程得x²-xlnx+2=k（x+2），判断左侧函数的单调性，作出函数图象，根据图象交点个数判断k的范围．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}+2}{x（lnx+k）+2k}=1$得x²-xlnx+2=k（x+2），
令f（x）=x²-xlnx+2（x$≥\frac{1}{2}$），则f′（x）=2x-lnx-1，
f″（x）=2-$\frac{1}{x}$，∵x$≥\frac{1}{2}$，∴f″（x）≥0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（$\frac{1}{2}$）=-ln$\frac{1}{2}$＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
作出f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上的函数图象如图所示：

当直线y=k（x+2）经过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{9+2ln2}{4}$）时，k=$\frac{9+2ln2}{10}$，
当直线y=k（x+2）与y=f（x）相切时，设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k（{x}_{0}+2）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}ln{x}_{0}+2}\\{2{x}_{0}-ln{x}_{0}-1=k}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=3，k=1．
∵方程$\frac{{x}^{2}+2}{x（lnx+k）+2k}$=1在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）上有两个不相等的实数根，
∴直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象有两个交点，
∴1＜k≤$\frac{9+2ln2}{10}$．
故答案为（1，$\frac{9+2ln2}{10}$]．

点评 本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．