Question

12．若直线ax-by+2=0 （a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线ax-by+2=0的距离d=0，直线ax-by+2=0经过圆心，可得$\frac{1}{2}$a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

解答 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，圆心为（-1，2），半径为2，
设圆心到直线ax-by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=4，
解得d=0，即
直线ax-by+2=0经过圆心，
∴-a-2b+2=0，
∴$\frac{1}{2}$a+b=1，
∴（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（$\frac{1}{2}$a+b）=$\frac{1}{2}$+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{2b}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{2b}}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$b时等号成立，
故式子的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故选：A

点评 本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用，属于中档题