Question

4．若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{2}{x+y}$=2，则4x+3y的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，对$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{2}{x+y}$=2变形可得$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{x+y}$=2，而4x+3y变形可得4x+3y=（2x+y）+（x+y）+（x+y）=$\frac{1}{2}$[（2x+y）+（x+y）+（x+y）]×[（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{x+y}$）]，由柯西不等式分析可得答案．

解答 解：根据题意，若$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{2}{x+y}$=2，则有$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{x+y}$=2，
则4x+3y=（2x+y）+（x+y）+（x+y）
=$\frac{1}{2}$[（2x+y）+（x+y）+（x+y）]×[（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{x+y}$）]
≥$\frac{1}{2}$[（2x+y）（$\frac{1}{2x+y}$）+（x+y）（$\frac{1}{x+y}$）+（x+y）（$\frac{1}{x+y}$）]²=$\frac{9}{2}$，
即4x+3y的最小值为$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查柯西不等式的应用，关键是对$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{2}{x+y}$=2和4x+3y的变形．