Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与y轴交于B₁，B₂两点，F₁为椭圆C的左焦点，且△F₁B₁B₂是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P₁（P₁与Q不重合），则直线P₁Q与x轴交于点H，求△PQH面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|F₁B₁|=a，由△F₁B₁B₂是边长为2的等边三角形，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出P，Q的坐标，则P₁的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出P1Q的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，进而可推断出直线P₁Q与x轴交于定点（4，0）．再由△PQH面积s=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|=$6\frac{\sqrt{3+{m}^{2}}}{4+{m}^{2}}，（m≠0）$；求出最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得B₁（0，b），B₂（0，-b），F₁（-c，0），
|F₁B₁|=a，由△F₁B₁B₂是边长为2的等边三角形，可得a=2，
2b=2，即b=1，
则有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，m≠0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则P₁（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
经过点P₁（x₁，-y₁），Q（x₂，y₂）的直线方程为$y+{y}_{1}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$．
令y=0，则x=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}{y}_{1}+{x}_{1}=\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
当y=0时，x=$\frac{（m{y}_{2}+1）{y}_{1}+（m{y}_{1}+1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}=\frac{-6m}{-2m}+1=4$．
直线P₁Q与x轴交与点H（4，0）
∴△PQH面积s=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|=$6\frac{\sqrt{3+{m}^{2}}}{4+{m}^{2}}，（m≠0）$；
令t=$\sqrt{{m}^{2}+3}，（t＞3）$，s=$\frac{6t}{{t}^{2}+1}=\frac{6}{t+\frac{1}{t}}$在t$＞\sqrt{3}$时递减，$\frac{6}{t+\frac{1}{t}}＜\frac{3\sqrt{3}}{2}$
△PQH面积的取值范围：（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 题主要考查了椭圆的标准方程的求法，注意运用方程的思想，考查直线与椭圆的位置关系，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和直线恒过定点、面积，考查了学生基础知识的综合运用，属于中档题．