Question

如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

BE

、

B1C

，利用

BE

•

B1C

=0，即可求得结论；
（2）证明

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，可得A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，从而可得A₁C⊥平面BED；
（3）由（2）知

A1C

=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

解答：（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），
B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）．
设E点坐标为（0，2，t），则

BE

=（-2，0，t），

B1C

=（-2，0，-4）．
∵BE⊥B₁C，∴

BE

•

B1C

=4+0-4t=0．
∴t=1，故CE=1．
（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），

BE

=（-2，0，1），
又

A1C

=（-2，2，-4），

DB

=（2，2，0）
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0，且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0．
∴

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，
又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE，即A₁C⊥平面BED．
（3）解：由（2）知

A1C

=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量．
又

A1B

=（0，2，-4），
∴cos＜

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

30

6

．
∴A₁B与平面BDE夹角的正弦值为

30

6

．

点评：本题考查线线垂直，线面垂直，考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．