Question

如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证BE⊥B₁C；
（2）求直线A₁B与直线B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，可得向量的坐标，可得

BE

•

B1C

=0，可判垂直；
（2）由（1）可得

B1C

，

A1B

的坐标，可得cos＜

A1B

，

B1C

＞，由三角函数的知识可得．

解答：解：（1）如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4），E（0，2，1），
∴

BE

=（-2，0，1），

B1C

=（-2，0，-4）．
∴

BE

•

B1C

=4+0-4=0
∴BE⊥B₁C
（2）由（1）可得

B1C

=（-2，0，-4），

A1B

=（0，2，-4），
∴cos＜

A1B

，

B1C

＞=

A1B • B1C

| A1B || B1C |

=

16

20 20

=

4

5

∴二直线成角的正弦值为

3

5

点评：本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．