Question

15．设命题p：函数y=c^x在R上单调递减
命题q：关于x不等式x+$\frac{1}{x+1}$＞2c对于x＞-1恒成立
如果p∨q是真命题，p∧q是假命题，求c的范围．

Answer 1

分析 由函数y=c^x在R上单调递减得c的范围，由基本不等式求出x+$\frac{1}{x+1}$得最小值，结合x+$\frac{1}{x+1}$＞2c对于x＞-1恒成立求出c的范围，最后由p∨q是真命题，p∧q是假命题，得p、q中一个真命题，一个假命题，从而求得c的范围．

解答 解：p：函数y=c^x在R上单调递减，即p：0＜c＜1．
∵x＞-1，∴x+1＞0，
由x+$\frac{1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1＞$2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}-1=1$，
当$x+1=\frac{1}{x+1}$，即x=0时x+$\frac{1}{x+1}$有最小值1，
∴2c＜1，得$c＜\frac{1}{2}$．
故q：$c＜\frac{1}{2}$．
∵p∨q是真命题，p∧q是假命题，∴p、q中一个真命题，一个假命题，
当p是真命题，q是假命题时，$\frac{1}{2}≤c＜1$，
当p是假命题，q是真命题时，c∈∅．
∴c的范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查逻辑联结词的概念、函数和不等式的应用，是中档题．