Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为BD的中点，问：在棱AA₁上是存在一点M，使平面MBD⊥平面OC₁D₁？如果存在，求出AM：MA₁的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 连接A₁C₁、MO、C₁M、AC，设正方体边长为1，则可求AC=A₁C₁=$\sqrt{2}$，AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可证C₁O⊥BD，由面MBD⊥面OC₁D₁，可证C₁O⊥面MBD，从而可得MO²+C₁O²=C₁M²，利用勾股定理代入边长计算即可得解．

解答 解：在棱AA₁上存在一点M，使平面MBD垂直于平面OC₁D₁．
连接A₁C₁、MO、C₁M、AC，则O是AC中点，
设正方体边长为1，则AC=A₁C₁=$\sqrt{2}$，AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD的中点，
∴BO=DO，BC₁=DC₁，
∴C₁O⊥BD，
∵面MBD⊥面OC₁D₁，
∴C₁O⊥面MBD，
∴C₁O⊥MO，
∴MO²+C₁O²=C₁M²，
∵MO²=AM²+AO²，C₁O²=C₁C²+CO²，C₁M²=A₁C₁²+MA₁²，
∴AM²+AO²+C₁C²+CO²=A₁C₁²+MA₁²，
∴AM²+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$=2+MA₁²，
∴AM=MA₁，
∴AM：MA₁=1．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，面面垂直性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．