Question

17．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则①$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$；$②\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$；③$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$中成立的序号为②．

Answer 1

分析 由题意画出图象，判断出点M是对角线的中点，再由向量的平行四边形法则，逐一判断各个结论是否成立，即可得到答案．

解答 解：由平行四边形的性质可得：点M是对角线的中点，

∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$-$\overrightarrow{DA}$；
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$不成立，
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$成立，
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$不成立，
故答案为：②．

点评 本题以命题的真假判断和应用为载体，考查了向量加法法运算及其几何意义，难度中档．