Question

已知函数f(x)=2sinxcosx-

3

cos2x+1（x∈R）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在区间x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（III）若不等式[f（x）-m]²＜4对任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先利用辅助角公式将函数化简成一个三角函数，然后根据三角函数的周期公式解之即可；
（II）先求出2x-

π

3

的取值范围，然后根据正弦函数的单调性求出函数的值域，从而求出函数的最值；
（III））[f（x）-m]²＜4对任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立等价于

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

恒成立，根据（II）可求出实数m的取值范围．

解答：解：（I）f(x)=sin2x-

3

cos2x+1=2sin(2x-

π

3

)+1，故T=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π，于是1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，即2≤f（x）≤3，
即f（x）_max=3，当x=

5π

12

时取得；f（x）_min=2，当x=

π

4

时取得．
（III）[f（x）-m]²＜4对任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立等价于

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

恒成立，
由（II）得1＜m＜4．
∴实数m的取值范围是1＜m＜4．

点评：本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，以及函数的周期和三角函数的化简求值，同时考查了等价转化的思想，属于中档题．