Question

已知函数f（x）=

( 1 2 )x， x＜-1 x2+3x， x≥-1

．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,分段函数的应用,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ） 分类构造不等式，解得即可，
（Ⅱ）先分类，（ⅰ）当x=0时，mx≤x²+3x+2恒成立，所以m∈R，（ⅱ） 当x∈[-1，0）时，原不等式变形为，分离参数，构造函数g（x），利用导数求出函数的最值即可，（ⅲ） 当x∈（0，2]时，原不等式变形为m≤x+

2

x

+3，利用基本不等式，求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当x＜-1时，
由(

1

2

)x=2-x＜4=22得x＞-2，
所以-2＜x＜-1，
当x≥-1时，
由x²+3x＜4得-4＜x＜1，
所以-1≤x＜1，
综上，原不等式的解集是{x|-2＜x＜1}；
（Ⅱ） 由题意得x²+3x≥mx-2即mx≤x²+3x+2在[-1，2]上恒成立，
（ⅰ）当x=0时，mx≤x²+3x+2恒成立，所以m∈R，
（ⅱ） 当x∈[-1，0）时，原不等式变形为m≥x+

2

x

+3，
设g(x)=x+

2

x

+3，x∈[-1，0)，
因为当x∈[-1，0）时，g′(x)=1-

2

x2

=

(x+ 2 )(x- 2 )

x2

＜0，
所以g（x）在[-1，0）上单调递减，
当x=-1时，g（x）_max=g（-1）=0，
所以m≥0，
（ⅲ） 当x∈（0，2]时，原不等式变形为m≤x+

2

x

+3，
又x+

2

x

+3≥2

2

+3，
当x=

2

时，(x+

2

x

+3)min=2

2

+3，
所以m≤2

2

+3，
综上所述，实数m的取值范围是[0，2

2

+3]，

点评：本题考查了参数的取值范围，采取的方法是分离参数，利用导数或基本不等式求出函数的最值，培养了学生的转化能力，解决问题的能力，属于难题