Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+x，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=

2

3

，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，分导函数的判别式小于等于0和大于0两种情况讨论，判别式小于等于0时，导函数恒大于等于0，原函数在实数集上为增函数，判别式大于0时，由导函数的零点对定义域分段，根据在不同区间段内导函数的符号求解原函数的单调区间；
（2）把a=

2

3

代入函数解析式，求导后得到函数的极值点，求出极大值和极小值利用数形结合的解题思想得到答案．

解答：解：（1）由f（x）=x³-3ax²+x，得f′（x）=3x²-6ax+1．
当△=36a²-12≤0，即-

3

3

≤a≤

3

3

时，f′（x）≥0恒成立，
函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
当a＜-

3

3

或a＞

3

3

时，
由x＜a-

3

3

3a2-1

，得f′（x）＞0．
由x＞a+

3

3

3a2-1

，得f′（x）＞0．
由a-

3

3

3a2-1

＜x＜a+

3

3

3a2-1

，得f′（x）＜0．
所以函数f（x）的增区间为(-∞，a-

3

3

3a2-1

)，(a+

3

3

3a2-1

，+∞)．
减区间为(a-

3

3

3a2-1

，a+

3

3

3a2-1

)；
（2）当a=

2

3

时，f（x）=x³-2x²+x．
f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
当x∈(-∞，

1

3

)时，f′（x）＞0．
当x∈(

1

3

，1)时，f′（x）＜0．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的极大值为f(

1

3

)=

4

27

．
f（x）的极小值为f（1）=0．
所以，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点时m的取值范围是(0，

4

27

)．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，考查了根的存在性及根的个数判断，体现了数形结合的解题思想方法，属中高档题．