Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）本题关键是将a_n=S_n-S_n-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．
（2）先求出S_n，利用S_n求a_n，必须分类讨论a_n=

a1     n=1 Sn-Sn-1n≥2

，求解可得．

解答：（1）证明：∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3）．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
又

1

S1

=

1

a1

=2，∴{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1），

1

Sn

=2+（n-1）•2=2n，∴S_n=

1

2n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

〔或n≥2时，a_n=-2S_nS_n-1=-

1

2n(n-1)

〕；
当n=1时，S₁=a₁=

1

2

．
∴a_n=

1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

点评：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S_n求a_n，注意分类讨论，属于基础题．