Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+k•3ⁿ⁺¹（k是与n无关的常数且k≠0），设b_n=

an

3n

．
（1）证明数列{b_n}是等差数列；
（2）若数列{a_n}是单调递减数列，求k的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=3a_n+k•3ⁿ⁺¹，可得

an+1

3n+1

=

an

3n

+k，可得b_n+1-b_n=k为常数，即可证明；
（2）由（1）可得b_n=

1

3

+(n-1)k=kn+

1

3

-k．可得a_n=3n(kn+

1

3

-k)，利用数列{a_n}是单调递减数列，可得a_n＞a_n+1，解出即可．

解答： （1）证明：∵a_n+1=3a_n+k•3ⁿ⁺¹，∴

an+1

3n+1

=

an

3n

+k，
∵b_n=

an

3n

，∴b_n+1-b_n=k为常数，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为

a1

3

=

1

3

，公差是常数k；
（2）解：由（1）可得b_n=

1

3

+(n-1)k=kn+

1

3

-k．
∴a_n=3n(kn+

1

3

-k)，
∵数列{a_n}是单调递减数列，
∴a_n＞a_n+1，
∴3n(kn+

1

3

-k)＞3n+1(kn+

1

3

)，
∴k＜

-2

3(2n+1)

，
∵数列{

-2

6n+3

}是单调递增数列，
∴k＜

-2

9

．
∴k的取值范围是k＜

-2

9

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．