Question

已知数列{a_n}的前n项和s_n=（n∈N）且a₂=2．
（1）求a₁，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：++…+＜1．

Answer 1

（1）解：n=1时，a₁=S₁==0；n=3时，0+a₂+a₃=，∴a₃=4；n=4时，0+a₂+a₃+a₄=，∴a₄=6；
（2）解：由（1）知，S_n=，∴n≥3时，S_n-1=
两式相减，整理可得
∴a_n==2×=2（n-1）（n≥3）
∵a₁=0，a₂=2也符合上式
∴a_n=2（n-1）；
（3）证明：∵（n≥2）
∴
∴++…+=1-++…+=1-＜1
即++…+＜1．
分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可求a₁，a₃，a₄的值；
（2）再写一式，两式相减，利用叠乘法，可得数列{a_n}的通项公式；
（3）确定通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．