Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域是单调函数，求实数b的取值范围；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）根据题意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定义域（-1，+∞）上的最小值是f（1），
∴函数在x=1处取得最小值，说明x=1是函数的极小值点，
因为f′（x）=2x+，所以f′（1）=0，得，可得b=-4
经检验b=-4符合题意；
（2）函数f（x）在定义域是单调函数，说明
f′（x）=2x+，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，
①根据函数的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，
②f′（x）≥0恒成立，即，变形为b≥-2x²-2x，
而
故b
综合①②知，实数b取值范围是
（2）∵
∴．
又∵．故不等式成立．
分析：（1）根据题意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定义域上的最小值是f（1），函数在x=1处取得最小值，说明x=1是函数的极小值点，f′（1）=0，解之可得b=-4；
（2）根据题意，f′（x）=2x+，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根据函数f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得b取值范围是；
（3）先构造不等式，进行恰当放缩：，利用这个式子进行累加，得，结合可得不等式成立．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数与数列、不等式相综合的问题，属于难题．利用分类讨论思想和不等式放缩的技巧，是解决本题的关键，也是思考的难点．