Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点。

（1）求直线D₁C与底面ABCD所成的角；
（2）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（3）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁。

Answer 1

（1）解：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体， ∴DD1⊥ABCD， ∴∠DCD1即为直线CD1与平面ABCD所成的角， ∴DD1⊥CD且DD1=CD， ∴∠DCD1=45°，即直线CD1与平面ABCD所成的角45°。
（2）证明：连结BD，在正方体中，对角线BD∥B1D1， 又E、F为棱AD、AB的中点， ∴EF∥BD，即EF∥B1D1， 又B1D1平面，平面， ∴EF∥平面。
（3）证明：在正方体中，AA1⊥平面，而B1D1平面， ∴AA1⊥B1D1， 又在正方形中，A1C1⊥B1D1，A1C1∩AA1=A1， ∴B1D1⊥平面CAA1C1， 又B1D1平面， ∴平面CAA1C1⊥平面。