Question

已知函数f（x）=x²e^-ax（a＞0），求函数在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：对函数f（x）=x²e^-ax，进行求导，解出函数的极值点，然后根据极值点的值判断函数的单调区间，因区间[1，2]比较大，里面不是单调的增或者间，需要讨论，然后代入求解．

解答：解：∵f′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x）（2分）
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0（3分）
∴-ax²+2x＞0，解得0＜x＜

2

a

（4分）
∴f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）内是减函数，在（0，

2

a

）内是增函数．（6分）
①当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，f（x）在（1，2）内是减函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（1）=e^-a；（8分）
②当1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2时，f（x）在（1，

2

a

）内是增函数，在（

2

a

，2）内是减函数．
∴在[1，2]上fmax（x）=f（

2

a

）=4a^-2e-2；（10分）
③当

2

a

＞2即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）是增函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（2）=4e^-2a．（12分）
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上的最大值为4e^-2a；
当1≤a≤2时，f（x）在[1，2]上的最大值为4a^-2e^-2；
当a＞2时，f（x）在[1，2]上的最大值为e^-a．（13分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，此题是一道中档题；