Question

（2009•黄冈模拟）已知函数f（x）=

1-x2 (-1＜x＜0) 2x-2   (0≤x＜1)

的反函数是f^-1（x），解不等式f^-1（-x）+x＞0．

Answer 1

分析：利用平方开方和指对数运算法则，求出函数f（x）的反函数的表达式，从而得到f^-1（-x）的分段形式的函数表达式，再进行分类讨论，分别解关于x的不等式，最后综合可得原不等式的解集．

解答：解：当-1＜x＜0时，由y=

1-x2

，得x=-

1-y2

当0≤x＜1时，由y=2^x-2，得x=log₂（y+2）
∴f^-1（x）=

- 1-x2    (0＜x＜1) log2(x+2)    (-1≤x＜0)

，可得f^-1（-x）=

- 1-x2    (-1＜x＜0) log2(-x+2)    (0＜x≤1)

①当-1＜x＜0时，不等式f^-1（-x）+x＞0即-

1-x2

+x＞0，没有实数解；
②当0＜x≤1时，不等式f^-1（-x）+x＞0即log₂（-x+2）+x＞0，
∵-x+2≥1，可得log₂（-x+2）≥0，∴不等式log₂（-x+2）+x＞0在0＜x≤1时恒成立
∴不等式f^-1（-x）+x＞0的解集为（0，1]

点评：本题给出分段函数，求函数的反函数表达式，并依此解关于x的不等式f^-1（-x）+x＞0，着重考查了反函数的求法和不等式的解法等知识，属于中档题．