Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠CAD=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=

2

，F是BC的中点．
（1）求证：DA⊥平面PAC；
（2）若以A为坐标原点，射线AC、AD、AP分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得

n

=（1，1，1）是平面PCD的法向量，求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明DA⊥平面PAC；
（2）求出平面PAF的法向量，利用空间向量法即可求出二面角的大小．

解答： 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，
∴DA⊥平面PAC．
（2）在空间直角坐标系内，A（0，0，0），C（1，0，0），B（1，-1，0），D（0，1，0），F（1，-

1

2

，0），P（0，0，1），
则

AP

=(0，0，1)，

AF

=（1，-

1

2

，0），
设平面PAF一个法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • AP =z=0 x- 1 2 y=0

，令y=2，则x=1，即

m

=（1，2，0），
又平面PCD法向量为

n

=（1，1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1+2

3 • 5

=

15

5

，
∴所求二面角的余弦值为

15

5

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断以及二面角的计算，利用向量法是解决本题的关键．