Question

设向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|²+

3

2

．
（1）求x∈[-

π

6

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．
（2）将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，再将得到的图象向下平移5个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）是偶函数，求φ的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先对函数解析式化简，利用正弦函数的性质和x的范围确定f（x）的范围．
（2）通过图象平移的法则求得g（x），进而根据函数为偶函数判断出φ．

解答： 解：（1）f（x）=5

3

cosxsinx+2cos²x+4cos²x+sin²x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+

5+5cos2x

2

+

5

2

=5sin（2x+

π

6

）+5，
∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[

5

2

，10]．
（2）f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5，
∴g（x）=5sin[2（x-φ）+

π

6

]+5-5=5sin（2x-2φ+

π

6

），
∵g（x）为偶函数，
∴-2φ+

π

6

=kπ+

π

2

，
∵φ＞0，
∴当k=-1时，φ有最小值

π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象的平移，三角函数图象用性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．