Question

直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，圆C的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ+1

（θ为参数），直线l的极坐标方程为θ=

π

4

（ρ∈R）．
（1）求圆C及直线l的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求

CA

•

CB

的值．

Answer 1

考点：圆的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）利用平方关系，消去参数可得圆的方程，由直线l的极坐标方程为θ=

π

4

，可得直角坐标方程；
（2）求出圆心C（0，1）到直线x-y=0的距离，以及cos∠ACB的值，利用数量积的公式即可得到结论．

解答： 解：（1）圆C的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ+1

（θ为参数），利用平方关系，消去参数可得圆的方程为x²+（y-1）²=4，直线l的极坐标方程为θ=

π

4

的直角坐标方程为x-y=0；
（2）由圆的标准方程可知，圆心C（0，1），半径r=2，
∵圆心C（0，1）到直线x-y=0的距离为

2

2

设∠CAB=2α，则cosα=

2

4

，
∴cos2α=2×

2

16

-1=-

7

8

∴

CA

•

CB

=4×（-

7

8

）=-

7

2

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．