Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，

2Sn

n

=a_n+1-

1

3

n²-n-

2

3

，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求证：数列{

an

n

}是等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系即可求a₂的值；
（2）根据等差数列的定义，构造数列，即可证明数列{

an

n

}是等差数列；
（3）根据数列{

an

n

}是等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
∴当n=1时，2a1=2S1=a2-

1

3

-1-

2

3

=a2-2，
又a₁=1，∴a₂=4．
（2）解：∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．∴2Sn=nan+1-

1

3

n3-n2-

2

3

n=nan+1-

n(n+1)(n+2)

3

①，
∴当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-

(n-1)n(n+1)

3

②，
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1
∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，∵

a2

2

-

a1

1

=1，
∴数列{

an

n

}是以首项为

a1

1

=1，公差为1的等差数列．
（3）∵数列{

an

n

}是以首项为

a1

1

=1，公差为1的等差数列．
∴

an

n

=1+1×(n-1)=n，
∴an=n2，
即数列{a_n}的通项公式an=n2，n∈N*．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等差数列的通项公式，根据等差数列的定义是解决本题的关键．