Question

已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（x）的最小值 f（3）=-4，且f（1）=0
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象指出关于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的个数 分别为3个，4个时，c的值或范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数的表达式作出函数的图象，根据函数的图象确定方程f（x）-c=0（c∈R）根的个数分别为3个，4个时，c满足的条件．

解答：解：（1）当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（x）的最小值 f（3）=-4，且f（1）=0
∴设f（x）=a（x-1）（x-5），
则函数过（3，-4），
即-4a=-4，
∴a=1，
∴x＞0时，f（x）=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=x²+6x+5
∵f（x）是奇函数，
f（-x）=-f（x），即f（-x）=x²+6x+5=-f（x），
∴f（x）=-x²-6x-5，x＜0，
又f（0）=0，
∴f（x）=

x2-6x+5，x＞0 0，  x=0 -x2-6x-5，x＜0

．
（2）作出函数f（x）的图象如图：
∴f（x）=c的根的个数
①3个根：c=4或c=-4
②4个根：-4＜c＜4且c≠0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数的图象应用，利用函数图象可以确定方程根的个数．