Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c，
（1）若函数在x=-1和x=3时取得极值，求a，b的值．
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2C恒成立，求C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），由题意得f′（-1）=0，f′（3）=0，解方程组即可求得a，b值；
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2C恒成立等价于f（x）_max＜2c，由（1）的结果利用导数即可求得函数f（x）的最大值；

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
因为函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
所以

f′(-1)=0 f′(3)=0

，即

3+2a+b=0 27-6a+b=0

，解得a=3，b=-9，
所以a=3，b=-9．
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
当-2≤x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减，当3＜x≤6时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x=-1时f（x）取得极大值，为f（-1）=5+c；
又f（6）=54+c，
所以f（x）在[-2，6]上的最大值为54+c，
当x∈[-2，6]时，f（x）＜2C恒成立等价于f（x）_max＜2c，即54+c＜2c，解得c＞54．
故c的取值范围为：c＞54．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及求函数在闭区间上的最值问题，考查函数恒成立问题，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值解决．