Question

4．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-1）x（a∈$R）．
（Ⅰ）当a＞-1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），如果存在曲线上的点M（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴随切线”．特别地，当${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$时，又称直线AB存在“中值伴随切线”．
试问：在函数y=f（x）的图象上是否存在两点A、B，使得直线AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，然后分a≥0和-1＜a＜0讨论，利用导函数大于0和小于0分别求出x的取值范围求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）假设存在两点A（x₁、y₁）、B（x₂，y₂），不妨设0＜x₁＜x₂，利用两点求斜率公式求出过A，B的直线的斜率，把A，B中点的横坐标用A，B的坐标表示，求导得到曲线在A，B中点处的切线的斜率，列等式后化简，令$\frac{x_2}{x_1}=t$，则t＞1，则$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$，令$g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}（t＞1）$，利用导数说明该函数无零点，说明在函数y=f（x）的图象上不存在两点A、B，使得直线AB存在中值伴随切线．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-ax+a-1$=$\frac{{-a{x^2}+（a-1）x+1}}{x}=-\frac{（ax+1）（x-1）}{x}（x＞0）$，
①当a≥0时，$\frac{-（ax+1）}{x}＜0$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＞0\\ x＞0\end{array}\right.⇒0＜x＜1$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＜0\\ x＞0\end{array}\right.⇒x＞1$，
∴f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）； 
②当-1＜a＜0时，则$-\frac{1}{a}＞1$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＞0\\ x＞0\end{array}\right.⇒0＜x＜1$或$x＞-\frac{1}{a}$，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（x）＜0\\ x＞0\end{array}\right.⇒1＜x＜-\frac{1}{a}$，
∴f（x）的增区间为（0，1），$（-\frac{1}{a}，+∞）$，减区间为$（1，-\frac{1}{a}）$；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上不存在两点A、B，使得直线AB存在中值伴随切线．
证明如下：
假设存在两点A（x₁、y₁）、B（x₂，y₂），不妨设0＜x₁＜x₂，
则${y_1}=ln{x_1}-\frac{1}{2}a{x_1}^2+（a-1）{x_1}$，${y_2}=ln{x_2}-\frac{1}{2}a{x_2}^2+（a-1）{x_2}$，
∵${k_{AB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{（ln{x_2}-ln{x_1}）-\frac{1}{2}a（{x_2}^2-{x_1}^2）+（a-1）（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$
=$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}-\frac{1}{2}a（{x_2}+{x_1}）+（a-1）$，
函数图象在${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$处的切线的斜率$k=f'（{x_0}）=f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=$\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+（a-1）$，
由$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}-\frac{1}{2}a（{x_2}+{x_1}）+（a-1）=\frac{2}{{{x_2}+{x_1}}}-\frac{1}{2}a（{x_2}+{x_1}）+（a-1）$，
化简得：$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$，即$ln\frac{x_2}{x_1}=\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{2（\frac{x_2}{x_1}-1）}}{{\frac{x_2}{x_1}+1}}$，
令$\frac{x_2}{x_1}=t$，则t＞1，则$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$，
令$g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}（t＞1）$，则$g'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{t（t+1）}$，
由t＞1，得g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又g（t）在t=1处连续，g（t）＞g（1）=0，
∴方程$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$在t＞1上无解，
因此在函数y=f（x）的图象上不存在A、B两点，使得直线AB存在中值伴随切线．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，体现了化归与转化思想方法，是中档题．