Question

19．设f（x）=（1+x）ln（1+x）-ax
（Ⅰ）设x=e-1为函数f（x）的极值点，求a的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（e-1）=0，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ln（1+x）+1-a，
∵x=e-1为函数f（x）的极值点，
∴f′（e-1）=ln（1+e-1）+1-a=0，解得：a=2，
a=2时，f（x）=（1+x）ln（1+x）+1-2x，
f′（x）=ln（1+x）-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞e-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜e-1，
∴f（x）在（-1，e-1）递减，在（e-1，+∞）递增；
（Ⅱ）f'（x）=ln（x+1）+1-a=0⇒x=e^a-1-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^a-1-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜e^a-1-1，
∴当x∈（-1，e^a-1-1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（e^a-1-1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
若f（x）≥0恒成立，则f（x）_min=f（e^a-1-1）≥0，
即lne^a-1≥a-$\frac{a}{{e}^{a-1}}$，解得：a≤1，
故a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．