Question

1．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n（n∈N^*）件，用x表示所抽取的n件产品中不合格品的个数．
（1）若n=2，求x的概率分布；
（2）求使x=1的概率取得最大值的n的值．（参考数据：$\sqrt{9901}$≈99.50）

Answer 1

分析 （1）由已知n=2时，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列．
（2）X=1的概率为P（X=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{97}^{n-1}}{{C}_{100}^{n}}$，记函数f（n）=n（n-99）（n-100），由此利用导数性质能求出函数f（n）的性质得当n=33时，X=1的概率取得取大值．

解答 解：（1）由已知n=2时，X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{97}^{0}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{1}{1650}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{97}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{97}{1650}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{97}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{1552}{1650}$，
∴X的概率分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{1650}$	$\frac{97}{1650}$	$\frac{1552}{1650}$

（2）X=1的概率为P（X=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{97}^{n-1}}{{C}_{100}^{n}}$=$\frac{n（n-99）（n-100）}{323400}$，1≤n≤99，且n∈N^*，
记函数f（n）=n（n-99）（n-100），
则由f′（n）=3n²-398n+9900=0，得n₁=$\frac{199-\sqrt{9901}}{3}$≈33.17，${n}_{2}=\frac{199+\sqrt{9901}}{3}$≈99.50，
∵f（33）-f（34）=33×66×67-34×65×66=66＞0，
∴由函数f（n）的性质得当n=33时，X=1的概率取得取大值．

点评 本题考查概率分布列的求法，考查概率的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．