Question

11．在平面直角坐标系xoy中，经过函数f（x）=x²-x-6与两坐标轴交点的圆记为圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过圆心且在坐标轴上截距相等的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点的坐标，设所求的圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，再把曲线与坐标轴的交点坐标代入圆C的方程，求得D、E、F的值，即可求得所求的圆C的方程0．
（2）求出圆心坐标，分类讨论求出直线方程．

解答 解：（1）在平面直角坐标系中，曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点分别为（0，-6）、（-2，0）、（3，0）．
设所求的圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，再把曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点坐标代入圆C的方程，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-2D+F+4=0}\\{3D+F+9=0}\\{-6E+F+36=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-1}\\{E=5}\\{F=-6}\end{array}\right.$，故所求的圆C的方程为x²+y²-x+5y-6=0；
（2）圆C的方程为x²+y²-x+5y-6=0，圆心为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$）
直线过原点时，设直线方程为y=kx，代入（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$），可得k=-5，直线的方程为5x+y=0；
直线不过原点时，设直线方程为x+y+a=0，代入（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$），可得a=2，直线的方程为x+y+2=0．
综上所述，直线的方程为5x+y=0或x+y+2=0

点评 本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，考查直线方程，注意正确分类讨论．