Question

7．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3-$\frac{1}{2}$a_n，b_n是a_n与a_n+1的等差中项，则数列{b_n}的通项公式为（　　）

• A． 4×3ⁿ
• B． 4×（$\frac{1}{3}$）ⁿ
• C． $\frac{1}{3}$×（$\frac{4}{3}$）^n-1
• D． $\frac{1}{3}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ

Answer 1

分析 利用递推关系与等比数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列的性质可得b_n．

解答 解：∵S_n=3-$\frac{1}{2}$a_n，
∴a₁=S₁=3-$\frac{1}{2}{a}_{1}$，解得a₁=2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3-$\frac{1}{2}$a_n-$（3-\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，化为：a_n=$\frac{1}{3}{a}_{n-1}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$2×（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∵b_n是a_n与a_n+1的等差中项，
∴b_n=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+1）=$\frac{1}{2}[2×（\frac{1}{3}）^{n-1}+2×（\frac{1}{3}）^{n}]$=$4×（\frac{1}{3}）^{n}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．