如图.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为棱A1B1的中点.点Q在侧面DCC1D1内运动.给出下列结论:①若BQ⊥A1C.则动点Q的轨迹是线段,②若|BQ|=$\sqrt{2}$.则动点Q的轨迹是圆的一部分,③若∠QBD1=∠PBD1.则动点Q的轨迹是椭圆的一部分,④若点Q到AB与DD1的距离相等.则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．其中结论正确的是①②(写出所有正确结论的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为棱A₁B₁的中点，点Q在侧面DCC₁D₁内运动，给出下列结论：
①若BQ⊥A₁C，则动点Q的轨迹是线段；
②若|BQ|=$\sqrt{2}$，则动点Q的轨迹是圆的一部分；
③若∠QBD₁=∠PBD₁，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；
④若点Q到AB与DD₁的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．
其中结论正确的是①②（写出所有正确结论的序号）．

分析建立如图所示的坐标系，分别求出相应的轨迹方程，即可得出结论．

解答解：建立如图所示的坐标系，则A₁（1，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），Q（0，y，z），0≤y≤1，0≤z≤1，$\overrightarrow{BQ}$=（-1，y-1，z）
①若BQ⊥A₁C，（-1，y-1，z）•（-1，1，-1）=0，∴1+y-1-z=0，∴y-z=0（0≤y≤1，0≤z≤1），
则动点Q的轨迹是线段，正确；
②若|BQ|=$\sqrt{2}$，则1+（y-1）²+z²=2，∴（y-1）²+z²=1（0≤y≤1，0≤z≤1），
∴动点Q的轨迹是圆的一部分，正确；
③Q在以B为顶点，BD₁为对称轴，PQ为直径的圆为底面的圆锥与平面CC₁D₁D的交面上，一条母线为BP，而BP∥平面CC₁D₁D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，不正确；
④若点Q到AB与DD₁的距离相等，则y=$\sqrt{1+{z}^{2}}$，∴y²-z²=1，
∴动点Q的轨迹是双曲线的一部分，不正确．
故答案为：①②．

点评本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，正确建立坐标系求方程是关键．

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