Question

10．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=1$，且向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线．
（1）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为45°，求$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$；
（2）若向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为45°，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cos45°．展开$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$，代入即可得出．
（2）由向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为钝角，可得（$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$）＜0，且不能反向共线，即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为45°，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cos45°=$1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为钝角，
∴（$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$）＜0，且不能反向共线，
∴${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=k²-1＜0，解得-1＜k＜1，k≠0
∴实数k的取值范围是（-1，1）（k≠0）．

点评 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．