Question

8．在直角坐标系 xOy中，圆C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C₁的极坐标方程；
（2）若直线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t参数）与圆C₁的交点为M，N，求△C₁MN的面积（C₁圆心）．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出C₁的极坐标方程．
（2）直线的直角坐标方程为y=x，联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，得M（1，1），N（2，2），再由C₁（1，2），能求出△C₁MN的面积．

解答 解：（1）∵圆C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，
∴x²+y²-2x-4y+4=0，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）∵直线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t参数），∴直线的直角坐标方程为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴M（1，1），N（2，2），C₁（1，2），
∴MC₁=1，NC₁=1，MN=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴MC₁²+NC₁²=MN²，∴MC₁⊥NC₁，
∴△C₁MN的面积S=$\frac{1}{2}×M{C}_{1}×N{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．