Question

6．已知直线y=2x+2上的动点（a_n，a_n+1），n∈N^•与定点（2，-3）所成直线的斜率为b_n，且a₁=3，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{{{b_1}-2}}+\frac{1}{{{b_2}-2}}+\frac{1}{{{b_3}-2}}+…+\frac{1}{{{b_n}-2}}＜{2^n}$．

Answer 1

分析 （1）动点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+2上，n∈N^•，可得a_n+1=2a_n+2，由a_n+1=2a_n+2，变形为a_n+1+2=2（a_n+2），即可证明．
（2）直线y=2x+2上的动点（a_n，a_n+1），n∈N^•与定点（2，-3）所成直线的斜率为b_n，可得b_n=$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}-2}$=$\frac{2{a}_{n}+5}{{a}_{n}-2}$，变形为$\frac{9}{{b}_{n}-2}$+2=a_n．可得$9（\frac{1}{{b}_{1}-2}+\frac{1}{{b}_{2}-2}+…+\frac{1}{{b}_{n}-2}）$+2n=a₁+a₂+…+a_n，即可证明．

解答 （1）解：动点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+2上，n∈N^•，
∴a_n+1=2a_n+2，
由a_n+1=2a_n+2，变形为a_n+1+2=2（a_n+2），又a₁=3，
∴数列{a_n+2}是等比数列，首项为5，
∴a_n+2=5×2^n-1，解得a_n=5×2^n-1-2．
（2）证明：∵直线y=2x+2上的动点（a_n，a_n+1），n∈N^•与定点（2，-3）所成直线的斜率为b_n，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}-2}$=$\frac{2{a}_{n}+5}{{a}_{n}-2}$=2+$\frac{9}{{a}_{n}-2}$，∴$\frac{9}{{b}_{n}-2}$+2=a_n．
∴$9（\frac{1}{{b}_{1}-2}+\frac{1}{{b}_{2}-2}+…+\frac{1}{{b}_{n}-2}）$+2n=a₁+a₂+…+a_n=$5×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-2n，
∴$\frac{1}{{b}_{1}-2}+\frac{1}{{b}_{2}-2}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}-2}$=$\frac{5×{2}^{n}-5-4n}{9}$$＜\frac{5×{2}^{n}}{9}$＜2ⁿ．
∴$\frac{1}{{{b_1}-2}}+\frac{1}{{{b_2}-2}}+\frac{1}{{{b_3}-2}}+…+\frac{1}{{{b_n}-2}}＜{2^n}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．