Question

（本小题12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得x∈[10,1000]万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（Ⅰ）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型
的基本要求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(i) y＝；(ii) y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型
是否符合公司要求？

Answer 1

解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立.
（Ⅱ）（1）对于函数模型：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，
则.所以f(x)≤9恒成立.
因为函数在[10，1000]上是减函数，所以.
从而，即不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.                                   
（2）对于函数模型f(x)＝4lgx－3：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，
则. 所以f(x)≤9恒成立.     
设g(x)＝4lgx－3－，则.
当x≥10时，，
所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.
所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，
所以恒成立.故该函数模型符合公司要求.

解析