Question

3．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，△F₁PF₂的面积为$\sqrt{5}$，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先根据面积可以求出P点的纵坐标为1，然后求出P点的横坐标，直接用向量相乘就可以得出结论．

解答 解：设P点的纵坐标为h，则
∵△F₁PF₂的面积为$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}h=\sqrt{5}$，
∴P点的纵坐标为1，
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1可得x=±2$\sqrt{2}$，
不妨取P（2$\sqrt{2}$，1），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-2$\sqrt{2}$，0-1）•（$\sqrt{5}$-2$\sqrt{2}$，0-1）=8-5+1=4，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程，考查向量知识的运用，确定P的坐标是关键．