Question

7．已知sinα+cosα=$\frac{4}{3}$，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；
（2）sin³α+cos³α；
（3）sin⁴α+cos⁴α．

Answer 1

分析 （1）由sinα+cosα=$\frac{4}{3}$，两边同时平方可得，1+2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，从而可得sinαcosα；
（2）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）结合sinαcosα及sin²α+cos²α=1代入可求．
（2）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²结合sinαcosα及sin²α+cos²α=1代入可求．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{4}{3}$，两边同时平方可得，1+2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，
∴sinαcosα=$\frac{7}{18}$．
（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=$\frac{4}{3}$×（1-$\frac{7}{18}$）=$\frac{22}{27}$．
（2））sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²
=1-2×（$\frac{7}{18}$）²=$\frac{113}{162}$．

点评 本题主要考查了同角平方关系的应用，解题中要注意一些常见式子的变形形式，属于公式的基本应用．