Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈Z^*),关于数列{a_n}有下列三个命题：

①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则a_n=a_n+1(n∈N^*);?

②若S_n=an²+bn(a、b∈R）,则{a_n}为等差数列；

③若S_n=1-（-1）ⁿ则{a_n}是等比数列.

这些命题中正确命题的序号是___________.

Answer 1

分析：说明命题为真命题需证明，说明一个命题为假命题，只需举一个反例.

解析：（1）∵{a_n}为等差数列，设公差为d,则由题意a_n-d ,a_n,a_n+d为等比数列，?

∴a_n²=(a_n-d)(a_n+d).?

∴d=0正确，∴①正确.?

（2）当n=1时，a₁=S₁=a+b;?

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an-a+b.?

∵n=1适合上式，

∴a_n=2an-a+b.?

而a_n+1-a_n=2a(常数)，?

∴{a_n}为等差数列.?

(3)同（2）得a_n =(-1)^n-1·2,而(常数).?

∴{a_n}是等比数列.

答案：①②③