Question

已知数列的前项的和为，点在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式及的最大值；
（2）令，求数列的前项的和；
（3）设，数列的前项的和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．

Answer 1

 （1），取得最大值12；（2）；（3）.

试题分析：（1）这是一个已知数列前的和求数列的通项公式的问题，解题思路非常明显，就是利用，本题的易错点就是不进行分类讨论，丢掉了的情况，求的最大值既可由的表达式入手，配方即可，也可从数列的单调性变化放手，求出最大值；（2）易知是一个等比数列，所以就是等差乘等比型数列，可用错位相减法求和；（3）根据数列的特点可用裂项相消法求出其前项的和为，再求出其最小值，根据不等式恒成立易求出结果.
试题解析：（1）因为点在函数 的图象上．
所以，
当时，
当时，满足上式，所以．
又，且
所以当或4时，取得最大值12．
（2）由题意知
所以数列的前项的和为
所以，
相减得，
所以．
（3）由（1）得
所以
易知在上单调递增，所以的最小值为
不等式对一切都成立，则，即．
所以最大正整数的值为18．