Question

9．已知椭圆4x²+5y²=20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|

Answer 1

分析 化椭圆方程为标准式，求出a²，b²的值，进一步求得c，则焦点F的坐标可求，由直线的倾斜角求出斜率，得到直线的点斜式方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由弦长公式求得弦长|AB|．

解答 解：由4x²+5y²=20，得$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴a²=5，b²=4，则c²=a²-b²=1，
∴c=1．
不妨设F（1，0），又k_l=tan45°=1，
∴l：y=x-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{4{x}^{2}+5{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，得9x²-10x-15=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10}{9}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{15}{9}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{10}{9}）^{2}+\frac{60}{9}}=\frac{16\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了弦长公式的应用，是中档题．