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(附加题)已知函数f(x)=x2-2kx+k+1.
(Ⅰ)若函数在区间[1,2]上有最小值-5,求k的值.
(Ⅱ)若同时满足下列条件①函数f(x)在区间D上单调;②存在区间[a,b]⊆D使得f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b];则称f(x)为区间D上的闭函数,试判断函数f(x)=x2-2kx+k+1是否为区间[k,+∞)上的闭函数?若是求出实数k的取值范围,不是说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ) f(x)=x2-2kx+k+1=(x-k)2-k2+k+1,对称轴x=k.分k<1、1≤k≤2、k>2三种情况,分别求出k的值,即得所求.
(Ⅱ)f(x)=x2-2kx+k+1在[k,+∞)上单调递增,由于f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],则有,即方程x2-2kx+k+1=x在[k,+∞)有两不同实数根,
解不等式组,求得实数k的取值范围.
解答:解:(Ⅰ) f(x)=x2-2kx+k+1=(x-k)2-k2+k+1,对称轴x=k.
①当k<1时,fmin(x)=f(1)=1-2k+k+1=-5,解得k=7,(舍去)
②当1≤k≤2时,,解得k=-2或3,(舍去)
③当k>2时,fmin(x)=f(2)=4-4k+k+1=-5,解得
综合①②③可得.-------(4分)
(Ⅱ)当时,函数f(x)=x2-2kx+k+1在[k,+∞)上是闭函数.--------(6分)
∵函数开口向上且对称轴为x=k,∴f(x)=x2-2kx+k+1在[k,+∞)上单调递增.
设存在区间[a,b]⊆[k,+∞)使得f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],
则有,即方程x2-2kx+k+1=x在[k,+∞)有两不同实数根.---------(8分)
,解得
∴k的取值范围为-----(10分)
点评:本题主要考查二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值,体现了分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

附加题:
已知函数f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a
(a为实数),
(1)求不等式f′(x)>
3
2
-ax
的解集;
(2)若f′(1)=0,①求函数的单调区间;②证明对任意的x1,x2∈(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|<
5
16
恒成立.

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(Ⅰ)若函数在区间[1,2]上有最小值-5,求k的值.
(Ⅱ)若同时满足下列条件①函数f(x)在区间D上单调;②存在区间[a,b]⊆D使得f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b];则称f(x)为区间D上的闭函数,试判断函数f(x)=x2-2kx+k+1是否为区间[k,+∞)上的闭函数?若是求出实数k的取值范围,不是说明理由.

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附加题:已知函数f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
,(其中ω>0)
,且函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为
π
2

(Ⅰ)求f(
π
6
)
的值;
(Ⅱ)若函数f(kx+
π
12
)(k>0)
在区间[-
π
6
π
3
]
上单调递增,求实数k的取值范围;
(III)是否存在实数m使方程3f2(x)-f(x)+m=0在(
π
12
π
3
]
内仅有一解,若存在,求出实数m的取值范围,若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(附加题)已知函数f(x)=x2+px+q,对于任意θ∈R,有f(sinθ)≤0,且f(sinθ+2)≥0.
(1)求p、q之间的关系式;
(2)求p的取值范围;
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14,求p的值,并求此时f(sinθ)的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

附加题:
已知函数f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a
(a为实数),
(1)求不等式f′(x)>
3
2
-ax
的解集;
(2)若f′(1)=0,①求函数的单调区间;②证明对任意的x1,x2∈(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|<
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恒成立.

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