(附加题)已知函数f(x)=x2-2kx+k+1.
(Ⅰ)若函数在区间[1,2]上有最小值-5,求k的值.
(Ⅱ)若同时满足下列条件①函数f(x)在区间D上单调;②存在区间[a,b]⊆D使得f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b];则称f(x)为区间D上的闭函数,试判断函数f(x)=x2-2kx+k+1是否为区间[k,+∞)上的闭函数?若是求出实数k的取值范围,不是说明理由.
【答案】
分析:(Ⅰ) f(x)=x
2-2kx+k+1=(x-k)
2-k
2+k+1,对称轴x=k.分k<1、1≤k≤2、k>2三种情况,分别求出k的值,即得所求.
(Ⅱ)f(x)=x
2-2kx+k+1在[k,+∞)上单调递增,由于f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],则有
,即方程x
2-2kx+k+1=x在[k,+∞)有两不同实数根,
解不等式组
,求得实数k的取值范围.
解答:解:(Ⅰ) f(x)=x
2-2kx+k+1=(x-k)
2-k
2+k+1,对称轴x=k.
①当k<1时,f
min(x)=f(1)=1-2k+k+1=-5,解得k=7,(舍去)
②当1≤k≤2时,
,解得k=-2或3,(舍去)
③当k>2时,f
min(x)=f(2)=4-4k+k+1=-5,解得
.
综合①②③可得
.-------(4分)
(Ⅱ)当
时,函数f(x)=x
2-2kx+k+1在[k,+∞)上是闭函数.--------(6分)
∵函数开口向上且对称轴为x=k,∴f(x)=x
2-2kx+k+1在[k,+∞)上单调递增.
设存在区间[a,b]⊆[k,+∞)使得f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],
则有
,即方程x
2-2kx+k+1=x在[k,+∞)有两不同实数根.---------(8分)
∴
,解得
,
∴k的取值范围为
-----(10分)
点评:本题主要考查二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值,体现了分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想,属于中档题.