Question

已知函数f（x）=

3

2

sin(2x+

π

6

)-

1

2

cos(2x+

π

6

)．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f(

x

2

)，x＞0且函数g（x）的图象与直线y=

3

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，x₃，…，x_n，求数列{x_n}的前100项和．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角差的正弦公式可得f（x）=sin2x，进而利用正弦函数的周期公式、单调区间即可得出．
（2）由sinx=

3

2

（x＞0）得x=2kπ+

π

3

或x=2kπ+

2π

3

（k∈N）．取k=1，2，…，50．求其和即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin(2x+

π

6

-

π

6

)=sin2x．
∴T=

2π

2

=π，
由

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z），
解得

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ(k∈Z)．
∴f（x）的单调递减区间是[kπ++

π

4

，kπ+

3π

4

](k∈Z)．
（2）g(x)=f(

x

2

)=sinx，
由sinx=

3

2

（x＞0）得x=2kπ+

π

3

或x=2kπ+

2π

3

（k∈N）．
∴数列{x_n}的前100项和=

π

3

×50+2π(1+2+…+50)+

2π

3

×50+2π(1+2+…+50)
=50π+5100π．

点评：熟练掌握三角函数的图象和性质、两角和的正弦公式等是解题的关键．