Question

甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出l00ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，称为一次调和．经n-1（n≥2，n∈N^*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a_n，b_n．记a₁=10%，b₁=20%．
（1）试用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（2）求证：数列{a_n-b_n}是等比数列，数列{a_n+b_n}是常数列；
（3）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，经n-1（n≥2，n∈N^*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a_n，b_n，从而可用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（2）利用（1）的结论，化简可得结论；
（3）利用（2）的结论，解方程组可得结论．

解答： （1）解：由题意，经n-1（n≥2，n∈N^*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a_n，b_n，
∴a_n=

400an-1+100bn-1

500

=

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1，
b_n=

400bn-1+100an-1

500

=

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1；
（2）证明：由（1）知，b_n-a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）-（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=

3

5

（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知数列{b_n-a_n}为首项是b₁-a₁=10%，公比为

3

5

的等比数列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）（

3

5

）^n-1=10%•（

3

5

）^n-1=

1

10

•（

3

5

）^n-1；
b_n+a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）+（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=b_n-1+a_n-1，
∴数列{a_n+b_n}是常数列；
（3）由（2）b_n-a_n=

1

10

•（

3

5

）^n-1①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=a₁+b₁=30%=

3

10

②
联立①②得a_n=

3

20

-

1

20

•（

3

5

）^n-1，b_n=

3

20

+

1

20

•（

3

5

）^n-1．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．