Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

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5

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1

4

．
（1）设n年内（本年度为第1年）总投人为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年，旅游业的总收人才能超过总投入？

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量a_n，进而求出a_n，b_n的表达式．
（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b_n-a_n＞0，解得n的取值范围即可．

解答： 解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1-

1

5

)万元，第n年投入为800×(1-

1

5

)n-1万元，
所以n年内的总投入为an=800+800×

4

5

+…+800×(

4

5

)n-1=4000×[1-(

4

5

)n]．
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+

1

4

)=400×

5

4

=500万元．
第n年旅游业收入为400×(1+

1

4

)n-1=400×(

5

4

)n-1万元，
所以n年内的旅游业总收入为bn=400+400×

5

4

+…+400×(

5

4

)n-1=1600×[(

5

4

)n-1]万元．
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b_n-a_n＞0，即1600×[(

5

4

)n-1]-4000×[1-(

4

5

)n]＞0，
化简得2×(

5

4

)n+5×(

4

5

)n-7＞0，设t=（

4

5

）ⁿ，则不等式等价为5t²-7t+2＞0，解得t＜

2

5

或t＞1(舍去)．
即(

4

5

)n＜

2

5

，解得n≥5，即至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．

点评：本小题主要考查数列的基本应用、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．