Question

15．设点A₁、A₂分别为椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的下顶点和上顶点，若在椭圆上存在点P使得${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$＞-3，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 根据题意设P（bsinα，acosα），求出${k}_{P{A}_{1}}$，${k}_{P{A}_{2}}$，结合${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$＞-3及隐含条件列式求得椭圆离心率的取值范围．

解答 解：设P（bsinα，acosα），A₁（0，-a），A₂（0，a）．
∴${k}_{P{A}_{1}}=\frac{acosα+a}{bsinα}，{k}_{P{A}_{2}}=\frac{acosα-a}{bsinα}$，
由${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$＞-3，得$\frac{{a}^{2}（co{s}^{2}α-1）}{{b}^{2}si{n}^{2}α}$＞-3，
即$-\frac{{a}^{2}si{n}^{2}α}{{b}^{2}si{n}^{2}α}＞-3$，∴$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}＜3$，
则a²＜3（a²-c²），∴2a²＞3c²，
得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{2}{3}$，即e∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查由两点坐标求斜率公式，正确设出p的坐标是求解本题的关键，是中档题．