Question

6．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），正三角形PQR的顶点R在C的左准线l上，P、Q在椭圆上，且线段PQ经过左焦点F₁，K_PQ=1．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）椭圆上是否存在关于直线PQ对称的两点，请说明理由；
（3）设H为椭圆上一动点，K是x正半轴上一定点，满足OA=3OK（A为椭圆右顶点），当HK+HF₁的最大值为5+$\sqrt{6}$时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设左焦点F₁（-c，0），右焦点F₂（c，0），直线PQ的方程为y=x+c，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由中点坐标公式，可得PQ的垂直平分线方程，求得R的坐标，由点到直线的距离公式可得R到PQ的距离，由等边三角形的性质，可得方程，即可得到a，c的关系，即可得到离心率；
（2）由（1）中的垂直平分线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，代入PQ的方程，检验是否为中点，即可判断存在性；
（3）运用椭圆的定义可得HK+HF₁=HK+2a-HF₂=2a-（HF₂-HK）≤2a+KF₂，当H，K，F₂在x轴上，且H为右顶点时，取得最大值，再由离心率，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）设左焦点F₁（-c，0），右焦点F₂（c，0），
直线PQ的方程为y=x+c，
代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²，可得
（b²+a²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{4{c}^{2}{a}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}-\frac{4{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
PQ的中点为（-$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\frac{c{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
可得PQ的垂直平分线方程为y-$\frac{c{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-（x+$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
即为y=-x-$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
令x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，则y=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}（{c}^{2}+2{a}^{2}）}{c（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
即为R（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{b}^{2}（{c}^{2}+2{a}^{2}）}{c（{a}^{2}+{b}^{2}）}$），
R到直线PQ的距离为d=$\frac{|-\frac{{a}^{2}}{c}+c-\frac{{b}^{2}（{c}^{2}+2{a}^{2}）}{c（{a}^{2}+{b}^{2}）}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{\sqrt{2}c（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
由△PQR为等边三角形，可得d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PQ|，
即有$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{\sqrt{2}c（{a}^{2}+{b}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
化简可得$\sqrt{6}$c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）设a=3t，由离心率可得c=$\sqrt{6}$t，b=$\sqrt{3}$t，t＞0，
由（1）可得，PQ的垂直平分线方程为y=-x-$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即为y=-x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$t，
代入椭圆方程x²+3y²=9t²，可得4x²+3$\sqrt{6}$tx-$\frac{9{t}^{2}}{2}$=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{3\sqrt{6}t}{4}$，弦的中点为（-$\frac{3\sqrt{6}t}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$t），
代入直线PQ，可得$\frac{\sqrt{6}}{4}$t=-$\frac{3\sqrt{6}t}{4}$+$\sqrt{6}$t，方程成立．
故椭圆上存在关于直线PQ对称的两点；
（3）由OA=3OK，可得K（$\frac{1}{3}$a，0），F₂（c，0），
由椭圆的定义可得，HK+HF₁=HK+2a-HF₂=2a-（HF₂-HK）
≤2a+KF₂=2a+c-$\frac{1}{3}$a=c+$\frac{5a}{3}$，
当H，K，F₂在x轴上，且H为右顶点时，取得最大值c+$\frac{5a}{3}$，
即有c+$\frac{5a}{3}$=5+$\sqrt{6}$，又$\sqrt{6}$c=2a，
解得c=$\sqrt{6}$，a=3，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和离心率的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点关于直线的对称的求法，以及三点共线时取最值的方法，考查化简整理的运算能力，综合性强，属于难题．