Question

18．在△ABC中，M是AB的中点，N是AC上一点，且$\overrightarrow{NC}$=2$\overrightarrow{AN}$，BN与CM相交于一点P．$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，则λ+μ=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 过N作AB的平行线，交CM于点D，利用平行线的性质得到线段的比例关系，结合向量的线性表示得到解答．

解答 解：由已知，在△ABC中，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，且$\overrightarrow{NC}$=2$\overrightarrow{AN}$，已知BN与CM交于点P，过N作AB的平行线，交CM于点E，
在三角形ACM中，CN：CA=NE：AM=2：3，
所以NE：MB=NP：PB=EP：PM=2：3，
所以$\overrightarrow{NP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{NB}$，
故$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{NP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{NB}$
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
故λ+μ=$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查了向量的三角形法则和平面向量基本定理，属于基础题．