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    11．已知点A为椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点，P（$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{3}$）是椭圆E上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆E的右焦点F，直线l与椭圆相交于B、C两点，且满足kOB•kOC=-$\frac{1}{2}$，O为坐标原点
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）求证：△OBC的面积为定值．

    分析 （1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{AF}$=c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b2=0．把点P（$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆的方程为$\frac{64}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，与b2+c2=a2联立解出即可得出a，b，进而得到椭圆方程；
    （2）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由斜率的公式，化简可得t2=2+4k2，再由点到直线的距离公式，即可得到△OBC的面积为定值．

    解答 解：（1）A（0，b），
    ∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，
    ∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{AF}$=（c-$\frac{8}{3}$，-$\frac{b}{3}$）•（c，-b）=c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b2=0．
    把点P（$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的方程为：$\frac{64}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，
    解得a2=8，∴b2+c2=8，
    可得b2=8-c2，代入c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b2=0，解得c=2，b=2．
    ∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
    （2）证明：当直线l的斜率不存在，令x=m，代入椭圆方程，
    可得y=±2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{8}}$，由kOB•kOC=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{-4（1-\frac{{m}^{2}}{8}）}{{m}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
    解得m=±2，交点为（2，±$\sqrt{2}$）或（-2，±$\sqrt{2}$），
    即有△OBC的面积为$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
    当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x2+2y2=8，
    可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，
    设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2{t}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
    |x1-x2|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{t}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8{t}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{8+16{k}^{2}-2{t}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
    由kOB•kOC=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
    即为x1x2+2y1y2=0，由y1=kx1+t，y2=kx2+t，
    可得（1+2k2）x1x2+2kt（x1+x2）+2t2=0，
    即有（1+2k2）•$\frac{2{t}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+2kt（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）+2t2=0，
    化简可得，t2=2+4k2，
    即有|x1-x2|=$\frac{4\sqrt{2{t}^{2}}}{{t}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{|t|}$，
    原点到直线y=kx+t的距离为d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
    可得△OBC的面积为S=$\frac{1}{2}$d|BC|
    =$\frac{1}{2}$•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{2}}{|t|}$=2$\sqrt{2}$．
    总是可得△OBC的面积为定值2$\sqrt{2}$．

    点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，三角形的面积公式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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