Question

14．已知函数$f（x）=|{x-a}|+|{x-\frac{1}{2}}|，x∈R$
（Ⅰ）当$a=\frac{5}{2}$时，解不等式f（x）≤x+10；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的意义求出f（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当$a=\frac{5}{2}$时，
$f（x）=|{x-a}|+|{x-\frac{1}{2}}|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x+3，}&{x＜\frac{1}{2}}\\{2，}&{\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\\{2x-3，}&{x＞\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，
①当$x＜\frac{1}{2}$时，由f（x）≤x+10得-2x+3≤x+10，
解得$x≥-\frac{7}{3}$，此时$-\frac{7}{3}≤x＜\frac{1}{2}$；
②当$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，
解得x≥-8，此时$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$；．．
③当$x＞\frac{5}{2}$时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，
解得x≤13，此时$\frac{5}{2}＜x≤13$；
综上，不等式f（x）≤x+10的解集为$\left\{{x\left|{-\frac{7}{3}≤x≤13}\right.}\right\}$；
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质得：
$f（x）=|{x-a}|+|{x-\frac{1}{2}}|≥|{（{x-a}）-（{x-\frac{1}{2}}）}|=|{-a+\frac{1}{2}}|$，
∴f（x）的最小值为$|{-a+\frac{1}{2}}|$，
由题意得$|{-a+\frac{1}{2}}|≥a$，解得$a≤\frac{1}{4}$，
∴实数a的取值范围为$（{-∞，\frac{1}{4}}]$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，绝对值的几何意义，考查分类讨论思想，是一道中档题．