Question

【题目】已知函数f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a为实数．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(0，＋∞)和(－∞，－2)； （2） .

【解析】

(1)利用导数求函数f(x)的单调增区间.(2)先求导得f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex，记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．

数形结合分析得到，解不等式即得a的取值范围.

(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex.

由f′(x)>0x>0或x<－2.

故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．

(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈Rf′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.

记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.

依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．

结合g(x)的图像特征得，

即a≥，所以a的取值范围是 .